suggest は「提案する、示唆する」などの意味を持つ他動詞です。
（代）名詞、動名詞、that節などを目的語にとります。
to不定詞は目的語にとりません。
suggest ～(名詞、動名詞）: ～を提案する、～してはどうかと言う
The lieutenant suggested an immediate retreat.
（副官は即時撤退を提案した。）
The CEO made a decision considering what his adivisors suggested.
（CEO はアドバイザーの言うことを考慮して決定を下した。）
what は関係代名詞で suggested の目的語になっています。
The doctor suggests sleeping at least seven hours.
（医師は少なくとも7時間眠ることを勧めている。）
Because of the bad weather, she suggested staying home.
（悪天候なので、彼女は家にいてはどうかと言った。）
suggest that節 ~: ～ということを提案する、～ということを示す
I suggest we complete this project in one month.
（このプロジェクトは 1 か月で完了させましょう。）
The chairperson suggested that the meeting be held next Monday.
（議長は会議を来週の月曜日に開催するよう提案した。）
that節は仮定法現在です。
The report we have received suggests that the situation is becoming worse.
（私たちが受け取った報告は、状況が悪化していることを示唆している。）
to 不定詞は目的語にとりません。
X suggest to do
まとめ
・suggest ～(名詞、動名詞）: ～を提案する、～してはどうかと言う
・suggest that節 ~: ～ということを提案する、～ということを示す
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